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Convegni di teoria dell'intersezione organizzati al Dipartimento

Teoria dell'intersezione


La teoria dell'intersezione si interessa di cosa succede quando le varietà algebriche si intersecano in un qualche spazio ambiente. Un esempio, conosciuto già nel XVIII secolo da Eulero e Bézout, è il caso delle curve piane. Il risultato principale è che due curve piane di grado m e n che non contengano una componente comune si intersecano sempre in mn punti.

Per rendere precisa questa affermazione, bisogna lavorare sui numeri complessi e introdurre i punti all'infinito, estendere cioè il piano affine ordinario al piano proiettivo, e contare ogni punto d'intersezione con la relativa molteplicità.

Nel XIX secolo l'argomento ha conosciuto un enorme sviluppo, nelle mani di geometri come Schubert e Zeuthen. Il loro interesse principale era la geometria enumerativa, che è quel ramo della geometria algebrica in cui si contano oggetti geometrici di un certo tipo, soggetti a restrizioni che rendono finito il numero delle soluzioni.

Un esempio tipico è il seguente: quante coniche sono tangenti a cinque rette in posizione generica? Molti numeri di questo tipo del tutto non banali sono stati calcolati. Naturalmente l'interesse del quesito non sta tanto nei numeri stessi, bensì nel metodo che produce le soluzioni e negli spazi dei parametri che si devono costruire per studiare il problema.
In questi lavori si incontrano molte idee chiave sull'argomento, non ultima l'idea di 'intersezione in eccesso, che è quel che succede quando le varietà si intersecano con dimensioni più elevate di quelle previste. Per esempio, una retta e un piano si incontrano generalmente in un punto, che ha la dimensione prevista e cioè 0. Ma può succedere che la retta giaccia sul piano, nel qual caso l'intersezione è la retta stessa, la cui dimensione è 1.

Una delle parti più importanti di geometria algebrica è sempre stato lo studio delle sottovarietà di codimensione 1, come ad esempio i punti di una curva e le curve di una superficie.
Severi, Todd, Segre e altri hanno iniziato lo studio delle sottovarietà di codimensione maggiore (iniziando dai punti di una superficie), caso in cui si sviluppano fenomeni e patologie completamente nuovi.

Negli anni '30 e '40, Weil, Zariski e altri hanno gettato nuove basi per la geometria algebrica, tra cui un approccio rigoroso alla teoria dell'intersezione sulle varietà quasiproiettive lisce. Più tardi, Grothendieck ha sviluppato una teoria dell'intersezione valida su varietà singolari, usando complessi metodi omologici.

Negli anni '70 Fulton e MacPherson hanno fondato in modo semplice ed elegante la teoria dell'intersezione geometrica su varietà arbitrarie, elaborando una descrizione molto soddisfacente delle intersezioni in eccesso in un contesto molto generale, sulla base del lavoro di Kleiman e altri. Stückrad e Vogel hanno sviluppato indipendentemente un approccio algoritmico che si è dimostrato molto utile nell'affrontare problemi di teoria dell'intersezione con il calcolo computazionale, prendendo così contatto con il campo in rapida crescita della computer algebra.

A metà degli anni '80 si è assistito a uno stupefacente sviluppo, quando alcuni fisici che lavoravano alla teoria delle stringhe fecero una serie di ipotesi sensazionali e completamente inaspettate in geometria enumerativa: Vafa e altri predissero valori per il numero di curve razionali di grado dato su una varietà quintica tridimensionale generale. Witten diede una nuova formula coinvolgendo i numeri dell'intersezione sullo spazio dei moduli delle curve. I fratelli Verlinde hanno messo a punto una formula per la dimensione dello spazio delle funzioni teta nello spazio dei moduli di raggruppamenti di vettori stabili su una curva.

Tutto ciò ha creato un vortice di attività in geometria enumerativa e, di conseguenza, in teoria dell'intersezione davvero enorme. Le relazioni nate in questi anni tra teoria dell'intersezione, fisica matematica e geometria simplettica sono una delle illustrazioni più felici dell'unità della matematica. In altre direzioni, ci sono state importanti connessioni con la teoria dei numeri. L'idea principale che ci sta dietro è l'idea di 'motivo', che risale a Grothendieck. Si cerca di decomporre una varietà algebrica in componenti più piccole e maneggevoli, non con un metodo geometrico (che in generale non può essere fatto) ma usando le corrispondenze. La parte principale della teoria consiste in un corpo di congetture, correlate al comportamento dei cicli algebrici su una varietà con altri dati geometrici che coinvolgono la varietà, e con le proprietà aritmetiche del campo di base.

In questo contesto è molto importante anche la relazione con la K-teoria, iniziata ancora da Grothendieck e approfondita da Bloch, Quillen e altri. Molte delle principali ipotesi della teoria dei motivi possono essere fissate in termini del comportamento di certe componenti dell'anello di una varietà nella K-teoria.
In un altro importante lavoro, Voevodsky, Suslin, Friedlander e altri hanno sviluppato un macchinario potente per affrontare e risolvere molti di questi problemi, creando di nuovo profonde connessioni tra la teoria dell'intersezione e la topologia algebrica. Un'altra relazione con la teoria dell'omotopia è strettamente connessa con la teoria degli stacks, che è molto importante in varie aree di geometria algebrica.